高等数学基础篇数二之二重积分的常考题

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二重积分常考题型：

1.累次积分交换次序或计算

2.二重积分计算

.二重积分的不等式

1.累次积分交换次序或计算

1.1交换累次积分次序一般方法

1.2极坐标转换为直角坐标

1.直角坐标转换为极坐标

2.二重积分计算

编辑

.二重积分的不等式

（1）画域

根据积分上下限在图中画出积分域；

（2）定限

交换积分次序，重新确定积分上下限；

解析：

这个积分是用极坐标表示的，看内层积分的上下限，上限为cosθ，即r=cosθ，两边同时乘r，

可得r2=rcosθ，已知在极坐标中，r2=x2+y2，rcosθ=x则x2+y2=x，即得y=√x-x2，即为上限；

解析：

这个题的话，根据前面讲过的适合用极坐标解题的积分域和被积函数，这个题都符合，所以想到用极坐标解题；

内层上限为√2x-x2，即y=√2x-x2，两边同时平分得：y2=2x-x2，即为x2+y2=2x，为一个偏心圆；

已知x2+y2=r2，x=rcosθ，则r=2cosθ，即为上限；

（这个偏心圆的圆心，暂时先不交大家怎么求的，后面会单独出一期关于椭圆，圆，偏心圆的圆心求法）

解析：

积分域为一个圆，关于x轴上下对称，函数y关于y为奇函数，所有积分为0；

因为积分域是以原点为圆心的圆，肯定是关于y=x对称的，所有满足变量对称性；

解析：（-1,1）点到原点这条标红的线，是辅助线，方便后续解题；

函数xy关于x轴和y轴都是奇函数，且在上图划分的两个区域D和D2内积分域分别关于x轴，y轴对称，故?xydxdy=0；

当在积分域D内时积分域关于x轴对称，函数cosxsiny关于y为奇函数；

当在积分域D2内时积分域关于y轴对称，函数cosxsiny关于x为偶函数；

?（xy+cosxsiny）dxdy=?（xy）dxdy+?cossinydxdy

=?（xy）dxdy（D2）+?（xy）dxdy（D）+?cossinydxdy（D2）+?cossinydxdy（D）

=0+0+?cossinydxdy（D2）+0

=?cossinydxdy（D2）

=2?cossinydxdy（D1）

这个题的积分域是个圆环，我画的图可以参考一下；

解析：

积分域为以原点为圆心，1为半径的圆；被积函数为y-x；

y-x0，yx;

y-x0，yx;

I20;

I40;

I=?（y-x）dxdy（D）=?（x-y）dxdy=-I；（根据积分域具有轮转对称性）I=-I，I=0；

I1=?（y-x）dxdy（D1）=?（x-y）dxdy=-I1；（根据积分域具有轮转对称性）I1=-I1，I1=0；

故I2I1=I=0I4;