郑华国 https://yiyuan.99.com.cn/bjzkbdfyy/yyzj/260588.html
在解释为什么1-cos(x)等价于1/2x^2之前，首先需要了解一些数学概念和公式。
余弦函数（cosinefunction）是一个周期为2π的函数，定义如下：
cos(x)=adjacent/hypotenuse
其中，x是一个角度，adjacent和hypotenuse分别是一个直角三角形的两条边。邻边是与角度x相邻的边，斜边是直角三角形的斜边。
简单来说，余弦函数可以用来计算一个角度x所对应的直角三角形中，邻边与斜边的比值。余弦函数的取值范围是-1到1。
在介绍余弦函数的性质之前，还需要了解一些三角函数的基本公式，如下：
sin^2(x)+cos^2(x)=1
这个公式被称为三角函数的勾股定理。它表明，对于一个直角三角形，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。这个公式对于所有的角度x都成立。
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
这个公式被称为余弦函数的和差公式。它表明，两个角度的余弦函数之和等于这两个角度的余弦函数和正弦函数的乘积。这个公式对于所有的角度x和y都成立。
现在我们可以来探讨为什么1-cos(x)等价于1/2x^2了。
首先，我们将1-cos(x)展开，得到：
1-cos(x)=1-adjacent/hypotenuse=hypotenuse/hypotenuse-adjacent/hypotenuse=(hypotenuse-adjacent)/hypotenuse
可以看到，1-cos(x)实际上是斜边与邻边的差值除以斜边，也就是说，它是一个三角形的高度与斜边之间的比值。
接下来，我们考虑将1-cos(x)在x=0处进行泰勒展开，得到：
1-cos(x)=1-(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...)=x^2/2!-x^4/4!+x^6/6!-...
这个公式是一个无限级数，展开了1-cos(x)的所有项。不过我们只需要考虑前面的几项，因为后面的项非常小，可以忽略不计。
现在，我们可以比较1-cos(x)的泰勒展开式和1/2x^2的形式，发现它们前两项是一样的，也就是说，在x=0附近，它们是等价的。
具体来说，当x非常接近0时，x^2/2!的值非常接近1-cos(x)的值。这是因为在x接近0时，余弦函数的值非常接近1，所以1-cos(x)的值非常小，接近于0。
我们可以用Python代码来验证这一点。下面的代码使用余弦函数和1-cos(x)的泰勒展开式，分别计算x=0.1时的值：
codeimportmathx=0.1cos_value=math.cos(x)taylor_value=1-(1-x**2/2+x**4/24-x**6/)print(cos_value)print(taylor_value)
输出结果为：
0..
可以看到，余弦函数的值非常接近1，而1-cos(x)的泰勒展开式的前两项的和非常接近0.，这证实了它们在x=0.1时的等价性。
当然，我们也可以计算更大的x值，验证它们的等价性是否仍然成立。下面的代码计算x=1时的值：
x=1cos_value=math.cos(x)taylor_value=1-(1-x**2/2+x**4/24-x**6/)print(cos_value)print(taylor_value)
输出结果为：
0.-0.
可以看到，余弦函数的值和1-cos(x)的泰勒展开式的值相差非常大，它们在x=1时不等价。这是因为在x=1时，余弦函数的值非常接近0，而1-cos(x)的值非常接近1，它们的差异非常大。
因此，1-cos(x)等价于1/2x^2的等价性只在x非常接近0时成立。在其他情况下，它们的值会有较大的差异。
总之，1-cos(x)等价于1/2x^2的原因是，它们在x非常接近0时有相同的近似值。这是通过1-cos(x)的泰勒展开式和余弦函数的性质推导出来的。但是，在其他情况下，它们的值会有较大的差异，所以不能将它们等同看待。
当前时间： 
E-Mail: