欧拉公式推导三角函数的二倍角半角两角

我们在的一分钟带你熟悉欧拉公式(画图简单明了)明白了欧拉公式在复平面中的一些应用，了解到三角函数的本质是圆函数，将三角函数扩大到了复数范围，也熟悉了虚数i的几何意义，看成是一个旋转，因为圆上的点做圆周运动的图形就是正弦函数。再次贴出这张动态图：

黑色线段的长度随着角度(弧度制)的变化而变化，这样就是一条正弦函数图形，横轴的线段长度变化将产生一条余弦函数图像，所以圆上的每个点在复平面的表示就是cosx+isinx（其中x是弧度制角度）

我们通过欧拉公式来推导出让很多人感到头痛的各种三角函数公式，从这个角度来看，就会发觉数学的神奇有趣，也说明学数学千万不要去死记公式，这样学起来会感到不爽和容易忘记。

在复平面中我们将欧拉公式的左边部分e^(ix)看成是旋转，它就是圆上的点，右边部分是三角函数的复数形式，我们也可以通过泰勒公式(用多项式来近似复杂的函数）先来看下欧拉公式是怎么来的

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...

我们将x替换成ix

e^ix=1+ix+(ix)^2/2!+(ix)^3/3!+...+(ix)^n/n!+...

e^ix=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+...+ix^n/n!+...

e^ix=(1-x^2/2!+ix^4/4!-...)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-...)

又因为

cosx=1-x^2/2!+ix^4/4!-...

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...

所以e^ix=cosx+isinx

这样我们就对整个欧拉公式有了更深的认识了，接下来我们使用欧拉公式来做三角函数公式的推导。

二倍角和半角公式的推导如下图：

可以看到推导起来非常的简单明了，这样的话我们就不需要去死记那些三角函数的公式了，多推导几次自然就记住了。

接着来看下两角的和差公式，如下图：

可以看到将x使用两个角的和与差来代替，可以很方便的推导出和差公式。

其中两角和推导出来之后，推导两角差的时候，这里需要注意cos(-β)=cosβ，那么这个千万不要去死记，依然画个余弦函数的图即可，再次强调，数学千万不要去死记硬背。

如下图：

我们可以看到余弦函数的图形，横轴就是角度(弧度制)，经过余弦函数处理就是对应的y的值，值域是[-1,1]，其中在±π/3两个位置对应的值都是0.5，是吧，这样就不存在需要死记公式，因为死记除了可能遗忘还会出现记错的情况出现。