高中数学三角函数的二倍角公式及其由来数

#三角函数#高中数学里常用到的二倍角公式有三类：正弦二倍角公式、余弦二倍角公式、正切二倍角公式。

1、正弦二倍角公式（1个）：

sin2α=2sinαcosα。

2、余弦二倍角公式（3个）：

(1)cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2;

(2)cos2α=2(cosα)^2-1;

(3)cos2α=1-2(sinα)^2。

3、正切二倍角公式（1个）：

tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

“(cosα)^2-(sinα)^2”表示“cosα的平方减去sinα的平方”。

一、正弦的“和角公式”和“二倍角公式”。

1、正弦的“和角公式”

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

2、正弦的“二倍角公式”

在正弦的“和角公式”中，令β=α，则有

sin2α=sin(α+α)

=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα;

即：sin2α=2sinαcosα。

二、余弦的“和角公式”和“二倍角公式”。

1、余弦的“和角公式”

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

2、余弦的“二倍角公式”

（1）余弦的“二倍角公式（一）”

在余弦的“和角公式”中，令β=α，则有

cos2α=cos(α+α)

=cosαcosα-sinαsinα=(cosα)^2-(sinα)^2。

即：cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2。

（2）余弦的“二倍角公式（二）”

因为“(sinα)^2+(cosα)^2=1”，所以，(sinα)^2=1-(cosα)^2,

把“(sinα)^2=1-(cosα)^2”代入余弦的“二倍角公式（一）”中得

cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2

=(cosα)^2-[1-(cosα)^2]=2(cosα)^2-1;

即：cos2α=2(cosα)^2-1。

（3）余弦的“二倍角公式（三）”

因为“(sinα)^2+(cosα)^2=1”，所以，(cosα)^2=1-(sinα)^2,

把“(cosα)^2=1-(sinα)^2”代入余弦的“二倍角公式（一）”中得

cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2

=[1-(sinα)^2]-(sinα)^2=1-2(sinα)^2。

即：cos2α=1-2(sinα)^2。

三、正切的“和角公式”和“二倍角公式”。

1、正切的“和角公式”

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ).

2、正切的“二倍角公式”

在正切的“和角公式”中，令β=α，则有

tan2α=tan(α+α)

=(tanα+tanα)/(1-tanαtanα)=2tanα/[1-(tanα)^2]，

即：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

一线教育名师，其它相关“三角函数二倍角公式”的中学数学问题，可以点击下方卡片提问并及时获得针对性咨询。